Θεωρία Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

 

ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ



ΟΡΙΣΜΟΙ – ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ



1. Τι καλείται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; (σελ.15)

2. Τι είναι το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f; (σελ. 15)

3. Γραφική παράσταση της f της –f και της  (σελ.17-18)

4. Γραφικές παραστάσεις μερικών βασικών συναρτήσεων (σελ.18-21)

5. Πότε δυο συναρτήσεις λέγονται ίσες ; (σελ.23)

6. Πράξεις με συναρτήσεις – πεδία ορισμού (σελ.23-24)

7. Σύνθετη συνάρτηση- ορισμός-πεδίο ορισμού (σελ.25)

8. Για τις συναρτήσεις f, g ισχύει η σχέση fοg = gοf; (σελ. 26)

9. Τι ισχύει για τη σύνθεση τριών συναρτήσεων; (σελ. 26)

10. Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ και πότε λέγεται γνησίως φθίνουσα; (σελ.31)

11. Πότε μια συνάρτηση θα λέμε ότι παρουσιάζει στο χ0 ολικό μέγιστο και πότε ολικό ελάχιστο; (σελ.32)

12. Πότε μια συνάρτηση λέγεται «1-1»; (σελ.33-34)

13. Αν η f είναι γνησίως μονότονη είναι και 1-1; Το αντίστροφο ισχύει; (σελ.34-35)

14. Ορισμός αντίστροφης συνάρτησης f -1 (σελ.36)

15. Tι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της αντίστροφης συνάρτησης της f ;
(σελ.37)

16. Όριο συνάρτησης (σελ.42)

17. Όριο ταυτοτικής – σταθερής συνάρτησης (σελ.45)



18. Aν  τότε f(x)>0 κοντά στο x0

Aν  τότε f(x)<0 κοντά στο x0 (σελ.47)



19. Aν οι συναρτήσεις f,g έχουν όριο στο x0 και ισχύει f(x)g(x) κοντά στο x0 τότε:  . (σελ.48)

20. θεώρημα -ιδιότητες 1-6 (σελ.48)

21. Κριτήριο παρεμβολής (σελ.51)

22.  , για κάθε  (χωρίς απόδειξη) (σελ.52)

23.  και  (σελ.53)

24. α) β)  (σελ.53

25. Όριο σύνθετης συνάρτησης (σελ.55)

26. Αν  και f(x)>0 κοντά στο x0 , τότε 

Αν  και f(x)<0 κοντά στο x0 , τότε 

Και οι υπόλοιπες ιδιότητες (σελ.60)

Όρια αθροίσματος και γινομένου (απροσδιόριστες μορφές ) (σελ.61)

27. Όρια συνάρτησης στο άπειρο (σελ.65)

28. Όριο πολυωνυμικής και ρητής συνάρτησης (σελ.66-67)

29. Όρια εκθετικής και λογαριθμικής συνάρτησης από τις γραφικές τους

παραστάσεις (χωρίς απόδειξη) (σελ.67)

30. Τι γνωρίζετε για το όριο των τριγωνομετρικών συναρτήσεων στο ±∞;




Τα όρια ημx και συνx όταν δεν υπάρχουν. Σε περίπτωση που τα συναντάμε σε κάποια παράσταση, χρησιμοποιούμε το κριτήριο παρεμβολής.

31. Πότε μια συνάρτηση θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα σημείο xο τουπεδίου ορισμού της και γενικότερα πότε είναι συνεχής; (σελ.70)

32. Πράξεις με συνεχείς συναρτήσεις – Σύνθεση συνεχών συναρτήσεων (σελ.72)

33. Συνέχεια σε διαστήματα ανοικτό (α,β) και κλειστό [α,β] (σελ.73)

34. Θεώρημα Bolzano και γεωμετρική ερμηνεία (χωρίς απόδειξη) (σελ.74)

35. Η εικόνα f(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης και μη σταθερής συνάρτησης είναι διάστημα (σελ.76)

36. Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής (σελ.77)

37. Μονοτονία και σύνολα τιμών (σελ.78)

38. Πότε μια συνάρτηση f θα λέγετε παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της ; (σελ.95)

39. Τι ονομάζουμε παράγωγο της f στο x0; (σελ.95)

40. Τι ονομάζουμε κλίση της f στο x0; (σχόλια ) (σελ.96)

41. Παραγωγίσιμη συνάρτηση σε ανοικτό & κλειστό διάστημα (σελ.104)

42. Πώς ορίζεται η στιγμιαία ταχύτητα και η στιγμιαία επιτάχυνση ενός κινητού;

43. Παράγωγοι: ημχ, συνχ, ex, lnx (σελ 106-108)

44. Παράγωγος γινομένου (χωρίς απόδειξη) (σελ.112)

45. Παράγωγος πηλίκου (χωρίς απόδειξη-τύπος ) (σελ.113)

46. (σφx)΄= (σελ.114)

47. Θεώρημα σύνθετης συνάρτησης (χωρίς απόδειξη) (σελ.116)

48. Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής μιας συνάρτησης f στο x0; (σελ.123)

49. Αν Κ είναι μια συνάρτηση που εκφράζει το κόστος παραγωγής συναρτήσει της ποσότητας x του παραγόμενου προϊόντος, τι ονομάζουμε οριακό κόστος στο xο; (σελ.123-124)

50. Θεώρημα Rolle και γεωμετρική ερμηνεία. (χωρίς απόδειξη) (σελ.128)

51. Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού (Θ.Μ.Τ) και γεωμετρική ερμηνεία. (χωρίς απόδειξη) (σελ.128-129)

52. Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο x0 τοπικό μέγιστο και πότε τοπικό ελάχιστο; (σελ.140-141)

53.Τι ονομάζουμε κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης f σ΄ένα διάστημα Δ; (σελ.143)

54. Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις των ακρότατων; (σελ.143)

55. Πότε μια συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα άνω (κυρτή) και πότε στρέφει τα κοίλα κάτω (κοίλη); (σελ.155)

56. Αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή (αντίστοιχα κοίλη) σ΄ένα διάστημα Δ τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται «κάτω» (αντίστοιχα «πάνω») από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής. (σελ.156)

57. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ΄ένα διάστημα Δ και δυο φορές παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε :
a. αν f ΄΄(x)>0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f θα είναι κυρτή στο Δ.
b. αν f ΄΄(x)<0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f θα είναι κοίλη στο Δ. (το αντίστροφο δεν ισχύει κατ΄ανάγκη) (σελ.156)

58. Τι ονομάζουμε σημεία καμπής μιας συνάρτησης f; (σελ.157)

59. Ποιες οι πιθανές θέσεις των σημείων καμπής ; (σελ.157)

60. Τι ονομάζουμε κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f; (σελ.161)

61. Τι ονομάζουμε οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f; Που αναζητούμε τις ασύμπτωτες; (σελ.162-163)

62. Αν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f έχει στο +∞ οριζόντια ασύμπτωτη, τότε στο +∞ μπορεί να έχει και πλάγια ασύμπτωτη;
Αν η Cf έχει στο +∞ οριζόντια ασύμπτωτη, τότε στο +∞ δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη και αντίστροφα. Ανάλογα συμπεράσματα ισχύουν και για το –∞

63. Πότε η ευθεία y=λx+β θα λέγεται πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f; Πόσες πλάγιες ή οριζόντιες ασύμπτωτες μπορεί να έχει μια συνάρτηση; (σελ.162)

63. Κανόνας de l’ Ηοspital (σελ.164-165)

64. Τι είναι ο πίνακας μεταβολών μιας συνάρτησης. (σελ. 169)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

65. Τι ονομάζουμε Αρχική συνάρτηση (ή Παράγουσα) μιας συνάρτησης f
σ΄ένα διάστημα Δ; (σελ.185)

66. Ορισμένο ολοκλήρωμα – εμβαδόν (σελ.212)

67. Αν  για κάθε x τότε  (σελ.212)

68. Θεωρήματα 1&2 (σελ.214)

69. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ΄ένα διάστημα [α,β] με  για κάθε x και η συνάρτηση f δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό τότε: 

σελ.214

ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ –ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ (ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ)

1.  σελ.49

2. Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών
Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ΄ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f συνεχής στο [α,β] και f(a)f(β) τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(a) και f(β), υπάρχει ένα τουλάχιστον χ0  (α,β) τέτοιος ώστε f(χ0)=η (σελ.74)

3. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ΄ένα σημείο xo τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. (το αντίστροφο δεν ισχύει κατ΄ανάγκη) (σελ.99)

4. (c) ΄= 0 (σελ.105)

5. (χ)΄= 1 (σελ.105)



6. (χν)΄=ν xν-1 , νΝ-{0,1} (σελ.106)

7.΄=  για κάθε x>0 (σελ.106)

8. Παράγωγος αθροίσματος (σελ.111)

9. (χ-ν)΄= - ν χ-ν-1, ν ,χ (σελ.114)

10. (εφx)΄= (σελ.114)

11. (χα)΄=αχα-1 , χ>0 ,  (σελ.116)

11.(αχ)΄= αχlnα , x , α>0 (σελ.1167-117)

12. (lnχ)΄=1/χ  (σελ.117)

13. Εστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ΄ένα διάστημα Δ. Αν η f συνεχής στο Δ και
f΄(χ)=0 για κάθε εσωτερικό σημείο χ του Δ, τότε η f είναι σταθερή σ΄ολο το
διάστημα Δ. (το αντίστροφο δεν ισχύει κατ΄ανάγκη) (σελ.133)

14. Εστω δυο συναρτήσεις f,g ορισμένες στο διάστημα Δ. Αν οι f και g είναι
συνεχείς στο Δ και f΄(χ)=g΄(χ) για κάθε εσωτερικό σημείο χ του Δ, τότε
υπάρχει σταθερά c ώστε για κάθε χΔ να ισχύει : f(x)=g(x)+c.
(το αντίστροφο δεν ισχύει κατ΄ανάγκη) (σελ.133)

15. Εστω μια συνάρτηση f συνεχής στο Δ.
· Αν f΄(χ)>0 σε κάθε εσωτερικό σημείο χ του Δ, τότε η f είναι γνησίως
αύξουσα σ΄ολο το διάστημα Δ.

· Αν f΄(χ)<0 σε κάθε εσωτερικό σημείο χ του Δ, τότε η f είναι γνησίως
φθίνουσα σ΄ολο το διάστημα Δ. (το αντίστροφο δεν ισχύει κατ΄ανάγκη) (σελ.135)

16. Θεώρημα Fermat και γεωμετρική ερμηνεία.
Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ΄ένα διάστημα Δ και χο ένα εσωτερικό
σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο χο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε f΄(χ0)=0 (το αντίστροφο δεν ισχύει κατ΄ανάγκη) (σελ.142)

17. Εστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ΄ένα διάστημα Δ. Αν η F είναι μια παράγουσα f στο Δ, τότε όλες οι συναρτήσεις της μορφής :G(x)=F(x)+c, cείναι παράγουσες της f στο Δ και κάθε άλλη παράγουσα G της f παίρνει τη μορφή: G(x)=F(x)+c, c (σελ.186)

18. Θεμελιώδες θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού
Εστω μια συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [α,β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α,β] τότε:  (σελ.216)