Τα μαθηματικά στους Σουμέριους

Ήδη απ' την 8η χιλιετία π.Χ. οι κάτοικοι της περιοχής που έμελλε να κατοικήσουν οι Σουμέριοι, χρησιμοποιούσαν ένα σύστημα αριθμητικής καταγραφής βασισμένο σε μικρές πήλινες "μάρκες" (tokens), τουλάχιστον όσον αφορά στην καταμέτρηση γεωργικών προϊόντων. Στην εποχή που κατοικούν την περιοχή οι Σουμέριοι, τα μαθηματικά φαίνονται να έχουν ένα καθαρά ωφελιμιστικό χαρακτήρα, εξυπηρετώντας τον σκοπό μιας "αναδιανεμητικής οικονομίας" που ήταν υπό τη διεύθυνση του Ιερατείου. Βέβαια αυτό δεν αποκλείει τη κατοχή και χρήση γνώσεων στον τομέα των Μαθηματικών, σε πιο θεωρητικό επίπεδο και για μη-ωφελιμιστικούς σκοπούς, απ' τους ίδιους τους ιερείς, όπως ακριβώς φαίνεται ότι συνέβαινε με κάθε είδος γνώσης. Αυτό, η γνώση ήταν προνόμιο ενός κλειστού ιερατικού κύκλου στα πλαίσια των Μυστηρίων που άνθησαν και στη Μεσοποταμία. Μόνο οι πρακτικές όψεις κάθε επιστήμης (όπως η καταγραφή προϊόντων ή ο καταμερισμός της γης) εκλαϊκεύονταν. Αυτή είναι μια όψη που συχνά οι σύγχρονοι αρχαιολόγοι παραβλέπουν, θεωρώντας κάθε ανάπτυξη γνώσης, αποτέλεσμα υλιστικών και πρακτικών αναγκών και όχι εφαρμογή ενός θεωρητικού υπόβαθρου). Τα αρχαιολογικά ευρήματα της Μεσοποταμίας που ήρθαν στο φως τους τελευταίους αιώνες, περιλάμβαναν αρκετά κείμενα (χαραγμένα πάνω σε πήλινες πινακίδες) που αφορούσαν στις γνώσεις των λαών της περιοχής για τα Μαθηματικά. Η σφηνοειδής γραφή των πινακίδων αυτών αποκρυπτογραφήθηκε στα μέσα του 19ου αιώνα απ' τον γερμανό G.F. Grotefend (1775-1853) και τον άγγλο ταγματάρχη H. Rawlinson (1810-1895). Από τις περίπου μισό εκατομμύριο πήλινες πινακίδες σφηνοειδούς γραφής που έχουν βγει στο φως σχεδόν 500 είναι αυτές που έχουν άμεσο μαθηματικό ενδιαφέρον. Οι πινακίδες αυτές βρίσκονται σε συλλογές σε διάφορα μουσεία της Ευρώπης, των Η.Π.Α. καθώς και στο Αρχαιολογικό Μουσείο της Βαγδάτης. Αργότερα, στα τέλη της δεκαετίας του 1930, τα μαθηματικά αυτά κείμενα άρχισαν να αποκρυπτογραφούνται απ' τον αυστριακό Οttο Neugebauer (1899-1990), κορυφαίο ερευνητή των μαθηματικών και της αστρονομίας της Μεσοποταμίας. Αν και οι περισσότερες πινακίδες χρονολογούνται στην εποχή της Βαβυλωνιακής αυτοκρατορίας, ωστόσο είναι γνωστό ότι οι γνώσεις της εποχής αυτής αποτελούν κληρονομιά και μετεξέλιξη των σουμεριακών μαθηματικών. Φαίνεται λοιπόν ότι, βρισκόμαστε μπροστά σ' ένα υψηλό επίπεδο μαθηματικών γνώσεων που βασίζεται σε ένα αριθμητικό σύστημα με βάση τον αριθμό 60, αν και στα "ψηφία" φαίνεται η πρακτικότητα του αριθμού 10. Δύο σύμβολα, η απλή κατακόρυφη σφήνα που παριστάνει τη μονάδα (1) και η διπλή σφήνα που παριστάνει τη δεκάδα (10), αποτελούν τα μοναδικά "ψηφία" του συστήματος αυτού το όποιο ήταν θεσιακό, δηλ. η αξία ενός ή περισσότερων ψηφίων καθορίζονταν απ' τη θέση που αυτό κατείχε μέσα σ' ένα αριθμό. Οι αριθμοί απ' το 1 ως το 59 σχηματίζονται με συνδυασμό των δύο βασικών συμβόλων και αριθμοί απ' το 60 και πάνω γράφονται σαν δυνάμεις του 60. Αυτό είναι εύκολο να το κατανοήσουμε στο δικό μας δεκαδικό σύστημα, το οποίο είναι επίσης θεσιακό. Για παράδειγμα στον αριθμό 1858, το πρώτο "8" αναφέρεται σε εκατοντάδες (102), ενώ το δεύτερο "8" σε μονάδες (100). Όμοια κάθε ψηφίο φανερώνει μια αξία πολλαπλάσια κάποιας δύναμης του δέκα (10), ανάλογα με τη θέση που κατέχει μέσα σ' ένα αριθμό. Το ίδιο συμβαίνει με τους σουμεριακούς αριθμούς, μόνο που η βάση είναι ο αριθμός 60. Μάλιστα ένα σύμβολο μπορεί να αναφέρεται και σε αρνητικές δυνάμεις του 60 (π.χ. 60-2 για το 1/600) οι οποίες χρησίμευαν όπως και σήμερα για της υποδιαιρέσεις της μονάδας, αλλά και στην τέλεση της πράξης της διαίρεσης (η διαίρεση α / β ισοδυναμούσε με τον πολλαπλασιασμό α*1/β).   Μπορεί η χρήση ενός 60αδικού συστήματος να φαντάζει σήμερα περίεργη, αλλά ας σκεφτούμε ότι οδήγησε τους Σουμέριους και αργότερα τους Βαβυλώνιους στη μέτρηση του χρόνου με βάση κύκλους διαιρεμένους σε 60 μονάδες, τρόπο που χρησιμοποιούμε ακόμα και σήμερα (1 ώρα = 60 λεπτά = 3600 δευτ/πτα). Επίσης οδήγησε τους Σουμέριους στο να χωρίσουν τον κύκλο σε 360ο και κάθε μοίρα σε 60 λεπτά. Έτσι ο αριθμός 60 αποτελεί εδώ και 5.000 χρόνια τουλάχιστον τη βάση μέτρησης των κύκλων του Χώρου και του Χρόνου, δίνοντάς τους μια μυστηριακή βάση, αφού ο κύκλος θεωρούνταν τόσο απ' τους Σουμέριους ιερείς όσο και στα Ιερά Μαθηματικά των Πυθαγορείων, σαν το σύμβολο του σύμπαντος και της ολοκλήρωσης της Ζωής. Άλλο χαρακτηριστικό του αριθμητικού συστήματος είναι η έλλειψη υποδιαστολής, κάτι που γενικά θα μπορούσε να επιφέρει σύγχυση (π.χ. τα ψηφία 4321789 θα μπορούσαν να αναφέρονται στον αριθμό 4.321.789 αλλά και στον 43.217,89). Το πρόβλημα αυτό φαίνεται ότι παρακάμπτονταν απ' τα συμφραζόμενα στο κείμενο που περιέχονταν ο αριθμός. Επίσης παρείχε ευελιξία αφού στις αριθμητικές πράξεις όλοι οι αριθμοί αντιμετωπίζονται ως ακέραιοι (Το ίδιο συμβαίνει σήμερα με τους δεκαδικούς αριθμούς. Ο πολλαπλασιασμός τους γίνεται σαν να είναι ακέραιοι αριθμοί και το μόνο που χρειάζεται είναι να τοποθετηθεί στο τέλος, μετά την εκτέλεση του πολλαπλασιασμού, η υποδιαστολή στην κατάλληλη θέση). Το μόνο χαρακτηριστικό που φαντάζει σαν μειονέκτημα είναι η έλλειψη συμβόλου για τον αριθμό "μηδέν". Φανταστείτε τη σύγχυση που θα προέκυπτε σήμερα αν για να γράψουμε τον αριθμό δέκα, θα έπρεπε να σημειώσουμε απλά "1". Το "1" θα μπορούσε να συμβολίζει μία μονάδα αλλά και μία δεκάδα, μία εκατοντάδα, μία χιλιάδα κ.ο.κ. Άλλο στοιχείο ήταν η χρήση κειμένων πινάκων για την αποφυγή μακροσκελών υπολογισμών (όπως ο σημερινός πίνακας της προπαίδειας). Έχουν ανακαλυφθεί πίνακες αντίστροφων (χρήσιμοι στις διαιρέσεις), πίνακες τετραγώνων, κύβων και κυβικών ριζών, ακόμα και πίνακες με τις τιμές των παραστάσεων της μορφής α2+β3 για διάφορες τιμές των α και β. Μια τέτοια γνωστή πινακίδα είναι η "Plimptοn 322", η οποία περιέχει τις γνωστές "πυθαγόρειες τριάδες", δηλ. τριάδες αριθμών που ικανοποιούν τη σχέση β2 + γ2 = α2,  τη σχέση που συνδέει τις κάθετες πλευρές και την υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου. Το ότι η χρήση των αριθμητικών μεθόδων δεν περιορίζονταν σε εμπορικούς και οικονομικούς σκοπούς, αλλά προχωρούσε σε θεωρητικό επίπεδο μέσα από μια εκπαιδευτική διαδικασία, φαίνεται απ' την αρχαιολογική ανακάλυψη πολλών προβλημάτων που απαιτούν τη χρήση εξισώσεων για την επίλυσή τους. Χαρακτηριστικό είναι το παρακάτω πρόβλημα. Είναι ένα απ' τα 22 προβλήματα που περιέχονται στην πινακίδα "YBC 4652" . "Βρήκα μια πέτρα. Δεν (τη) ζύγισα. Αφαίρεσα το ένα έβδομο. Πρόσθεσα το ένα ενδέκατο. Αφαίρεσα το ένα δέκατο τρίτο. (Τη) ζύγισα: 1 kg. Ποιο ήταν το αρχικό βάρος της πέτρας;" Η απάντηση στο πρόβλημα αυτό θα προέκυπτε σήμερα με την λύση της εξίσωσης :  (x - x/7 ) + 1/11 (x - x/7 ) - 113 [111 (x - x/7 )] = 1,  όπου x είναι το αρχικό βάρος της πέτρας. Η Γεωμετρία Η σουμεριακή γεωμετρία περιλάμβανε τον υπολογισμό των εμβαδών, όγκων και μετρικών σχέσεων σε τρίγωνα και τραπέζια. Γνώριζαν να υπολογίζουν το εμβαδόν του ορθογωνίου και του ορθογωνίου τριγώνου και απ' αυτά και άλλων σχημάτων. Υπολόγιζαν επίσης σωστά τους όγκους πρισμάτων και κυλίνδρων. Για τους υπολογισμούς σε κύκλους και κυλίνδρους χρησιμοποιούσαν την προσέγγιση π = 3. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η πινακίδα "Plimptοn 322", δείχνει ότι μπορούσαν να υπολογίσουν την υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου με όμοιο τρόπο με το "Πυθαγόρειο θεώρημα". Το ότι τα Μαθηματικά και οι Γεωμετρία ήταν όχι μόνο θεωρητικές επιστήμες, αλλά εφαρμόσιμες και στην πράξη, αντικατοπτρίζεται στην Αρχιτεκτονική τους που ύψωσε κλιμακωτές πυραμίδες (ζιγκουράτ) και μεγαλοπρεπείς ναούς. (Εκμαιευμένο από το διαδίκτυο)